THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thông tin chung

• Tên đề tài: Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân hai cấp
• Mã số: B2018-TNA-62
• Chủ nhiệm: PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
• Cơ quan chủ trì: Đại học Thái Nguyên
• Thời gian thực hiện: Từ tháng 01 năm 2018 đến tháng 12 năm 2019

2. Mục tiêu

Đề xuất được hướng tiếp cận mới sử dụng các đặc trưng của phương pháp đường dốc nhất, phương pháp lai ghép, phương pháp hiệu chỉnh, giải một lớp bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan.

3. Tính mới và tính sáng tạo

Đề tài đã nghiên cứu và đề xuất một số thuật toán mới giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn; Nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp mới tìm không điểm của toán tử m-j-đơn điệu.

4. Kết quả nghiên cứu

• Đề xuất một phương pháp lặp hiện lai ghép trên cơ sở kết hợp phương pháp đường dốc nhất và phương pháp Krasnosel'skii-Mann giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach trơn đều và không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi  Gâteaux đều không cần điều kiện liên tục yếu của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Đưa ra ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp đề xuất.
• Đề xuất một phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép ẩn tìm không điểm của toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach thực; đưa ra sự hội tụ của phương pháp lặp hiện tương ứng với giả thiết yếu hơn kết quả gần đây của Ceng và các đồng nghiệp công bố trên Numer. Func. Anal. Opt. 35, 142-165 (2012). Bài toán được đặt trong các không gian Banach trơn đều và không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều và không gian Banach lồi đều. Đưa ra ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.

5. Sản phẩm

5.1. Sản phẩm khoa học

1. T.T. Thuy, P.T. Hieu (2019), "A hybrid method for solving variational inequalities over the common fixed point sets of infinite families of nonexpansive mappings in Banach spaces (Một phương pháp lai ghép giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach)”, Optimization, https://doi.org/10.1080/ 02331934.2019.1647201 (SCIE).
2. T.T. Thuy, P.T. Hieu, J.J. Strodiot (2019), "Convergence of a hybrid viscosity approximation method for finding zeros of m-accretive operators (Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép tìm không điểm của toán tử m-j-đơn điệu)", Numerical Algorithms, https://doi.org/10.1007/s11075-019-00740-8, (SCIE).
3. T. Hieu, Ng.T.T. Thuy, J.J. Strodiot (2019), "Explicit iteration methods for solving variational inequalities in Banach spaces (Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach)", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 42, 467-483, https://doi.org/10.1007/s40840-017-0494-8 (SCIE).
4. T. Huong, J.K. Kim, Ng.T.T. Thuy (2018), "Regularization for the problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces (Hiệu chỉnh bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh đơn điệu phi tuyến trong không gian Banach)", J. Korean Math. Soc., 55(4), 849-875, (SCIE).

5.2. Sản phẩm đào tạo

Hướng dẫn nghiên cứu sinh

1. Trần Thị Hương (2018), Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.

Hướng dẫn học viên cao học

1. Phạm Trung Hảo (2018), Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
2. Hoàng Thị Hậu (2018), Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
3. Nguyễn Thị Hiển (2018), Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
4. Trần Thanh Huyền (2018), Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
5. Nguyễn Thị Mỵ (2019), Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng

• Tăng cường năng lực nghiên cứu cho nhóm làm đề tài nói riêng và giảng viên khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học nói chung.
• Phục vụ công tác nghiên cứu khoa học và đào tạo sau đại học trong và ngoài Đại học Thái Nguyên.

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1. General Information

• Project title: Some iterative methods for solving bilevel variational inequalities
• Code number: B2018-TNA-62
• Coordinator: Assoc. Prof. Dr. Nguyễn Thị Thu Thủy
• Implementing institution: Thai Nguyen University
• Duration:  01/2018-12/2019

2. Objectives

Propose new method for solving variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive mappings or the set of common zero points of accretive mappings.

3. Novelty and creativity

Establish iterative methods for solving variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive mappings or the set of common zero points of accretive mappings.

4. Research results

• Introduce a hybrid method, a combination of the steepest-descent method and the Krasnosel'skii-Mann one, for solving a variational inequality over the set of common fixed points of an infinite family of nonexpansive mappings in Banach spaces under two different conditions on the Banach space, either a uniformly smooth Banach space or a reflexive and strictly convex one with a uniformly Gâteaux differentiable norm, without imposing the sequential weak continuity of the normalized duality mapping.
• For finding a zero of an m-accretive operator in a real Banach space, we consider an implicit hybrid viscosity approximation method and show that its explicit variant converges strongly to a zero under weaker assumptions than the ones used recently by Ceng et al. in Numer. Func. Anal. Opt. 35, 142-165 (2012). First we examine the case of spaces which are uniformly smooth or reflexive and strictly convex with a uniformly Gâteaux differentiable norm. Afterwards, we improve our convergence results when the space is uniformly convex. Furthermore, we show that the strong convergence of some modified Halpern and Krasnosel'skii-Mann type methods can also be deduced from our results.
• Finally, some simple numerical examples are also given to illustrate the convergence analysis of the considered methods.

5. Products

5.1. Scientific publications

1. T.T. Thuy, P.T. Hieu (2019), "A hybrid method for solving variational inequalities over the common fixed point sets of infinite families of nonexpansive mappings in Banach spaces", Optimization, https://doi.org/10.1080/ 02331934.2019.1647201 (SCIE).
2. T.T. Thuy, P.T. Hieu, J.J. Strodiot (2019), "Convergence of a hybrid viscosity approximation method for finding zeros of m-accretive operators", Numerical Algorithms, https://doi.org/10.1007/s11075-019-00740-8, (SCIE).
3. T. Hieu, Ng.T.T. Thuy, J.J. Strodiot (2019), "Explicit iteration methods for solving variational inequalities in Banach spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 42, 467-483, https://doi.org/10.1007/s40840-017-0494-8 (SCIE).
4. T. Huong, J.K. Kim, Ng.T.T. Thuy (2018), "Regularization for the problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces", J. Korean Math. Soc., 55(4), 849-875, (SCIE).

5.2. Training results

Doctor of theses

1. Trần Thị Hương (2018), The regularization method for finding the solution of the system of monotone operator equations in Banach spaces, Thai Nguyen University of Education - Thai Nguyen University

Master of theses

1. Phạm Trung Hảo (2018), Regularization for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups, Thai Nguyen University of Scicences - Thai Nguyen University.
2. Hoàng Thị Hậu (2018), Hybrid methods for solving a class of variational inequalities, Thai Nguyen University of Scicences -- Thai Nguyen University.
3. Nguyễn Thị Hiển (2018), Hybrid methods for equilibrium, variational inequality and fixed point problems, Thai Nguyen University of Scicences - Thai Nguyen University.
4. Trần Thanh Huyền (2018), Hybrid methods for solving systems of operator equations, Thai Nguyen University of Scicences -- Thai Nguyen University.
5. Nguyễn Thị Mỵ (2019), Projection methods for variational inequalities with split fixed point constraints, Thai Nguyen University of Scicences - Thai Nguyen University.

6. Applications and effectiveness

• On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project).
• On educational aspect: Instructing 1 doctor theses, 5 master theses, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences.
• Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening the cooperation in scientific research with domestic and international research institution.