THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thông tin chung

• Tên đề tài: Nghiên cứu một số bài toán về iđêan nguyên tố trên vành Noether địa phương
• Mã số: ĐH2016-TN04-07
• Chủ nhiệm đề tài: TS. Trần Đỗ Minh Châu
• Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
• Thời gian thực hiện: 24 tháng (từ 06/2016 đến 8/2018)

2. Mục tiêu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số bài toán về iđêan nguyên tố trên vành Noether địa phương. Bài toán thứ nhất là sử dụng kĩ thuật địa phương hóa tại một iđêan nguyên tố đặc biệt để mở rộng lớp vành Cohen-Macaulay địa phương chiều 1 sang lớp vành mới có tên 2-AGL và nghiên cứu cấu trúc lớp vành mới này. Bài toán thứ hai là đặc trưng cấu trúc của R-đại số B=m:m trong mối liên hệ với tính chất 2-AGL của vành R. Bài toán thứ ba là đưa ra điều kiện cần và đủ để iđêan cực đại thuần nhất của vành đa thức là iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh của một đồ thị.

3. Tính mới và sáng tạo

Đề tài đã định nghĩa lớp vành mới, là một mở rộng của lớp vành Cohen-Macaulay,  có tên 2-Almost Gorenstein (viết tắt là 2-AGL) thông qua hạng của môđun Sally (là môđun địa phương hóa tại iđêan nguyên tố đặc biệt của vành Rees) và đạt được những kết quả mới về cấu trúc của lớp vành này. Một lớp ví dụ cụ thể và sinh động về lớp vành 2-AGL trên các vành iđêan hóa, vành nửa nhóm số của một nửa nhóm số cũng được khai thác. Đề tài sử dụng cấu trúc của iđêan cực đại - một lớp iđêan nguyên tố đặc biệt của vành cơ sở - để nghiên cứu cấu trúc vành 2-AGL thông qua cấu trúc của đại số m:m.

4. Kết quả nghiên cứu

• Kết quả chính đầu tiên của đề tài là đưa ra các đặc trưng để lớp vành Cohen-Macaulay địa phương chiều 1(R,m) là vành 2-AGL thông qua iđêan chính tắc I của nó, iđêan thương K=I/a và vành S=R[K]. Đề tài đưa ra điều kiện cần và đủ để tính chất 2-AGL được bảo toàn qua chuyển phẳng cơ sở, qua iđêan hóa cũng như thỏa mãn cho lớp vành nửa nhóm số.
• Kết quả chính thứ hai của đề tài là đặc trưng cấu trúc của đại số m:m khi vành cơ sở là 2-AGL.
• Kết quả chính thứ ba của đề tài là đưa ra điều kiện cho đồ thị để iđêan cực đại thuần nhất là iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị.

5. Sản phẩm

5.1. Sản phẩm khoa học

- Đăng 01 bài báo thuộc danh mục SCI:

1. Tran Do Minh Chau, Shiro Goto, Shinya Kumashiro, Naoyuki Matsuoka (2019), "Sally modules of canonical ideals in dimension one and 2-AGL rings",  Journal of Algebra,  521, tr. 299-330.

- Đăng 01 bài báo trong nước:

1. Nguyen Thi Dung, Nguyen Thi Thanh Tam, Hoang Le Truong, Hoang Ngoc Yen (2019), "Critical Paired Dominating Sets and Irreducible Decompositions of Powers of Edge Ideals",  Acta Mathematica Vietnamica, 44, tr. 587-601

5.2. Sản phẩm đào tạo

- Hướng dẫn 04 đề tài NCKH sinh viên:

1. Hoàng Thị Hải (2016), Một số tính chất của mở rộng nguyên và bao đóng nguyên, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
2. Nguyễn Thị Huyền Thương, Lê Diệu Anh (2016) , Một số tính chất của iđêan đơn thức, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
3. Hà Minh Hòa, Lê Thu Trang (2017), Môđun đối đồng điều địa phương Artin, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
4. Lại Thị Hảo (2017), Một số tính chất và phân loại của nửa nhóm số, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.

5. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu

• Các bài báo khoa học là sản phẩm nghiên cứu của đề tài được xuất bản trên các tạp chí trong và ngoài nước.
• Các bài báo khoa học được phổ biến tới các độc giả thông qua thư viện truyền thống và thư viện điện tử. Các bài báo đó là  tiền đề nghiên cứu tiếp theo cho các nhà toán học nghiên cứu về Đại số và Lý thuyết số.
• Các kết quả của đề tài cũng là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, giảng viên, nghiên cứu sinh và các nhà toán học nghiên cứu về Đại số và Lý thuyết số.

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1. General information

• Project title: On study of some problems of prime ideals over Noetherian local ring
• Code number: ĐH2016–TN04–07
• Coordinator: Ms. Tran Do Minh Chau
• Implementing institution: Thai Nguyen University of Education - TNU
• Duration: 06/2016 - 12/2018.

2. Objectives

The aim of this research is to study some problems of prime ideals over Noetherian local rings. The first problem is using localization at a special prime ideal to generalize the class of Cohen-Macaulay rings of dimension 1 to a new one named 2-AGL and to study its structure. The second problem is to characterize the structure of R-algebra B=m:m in relation with the property 2-AGL of R. The third problem is to give the necessary and sufficient conditions for the homogeneous maximal ideal  of polynomial ring is an associated prime ideal of a power of edge ideal of a given graph.

3. Creativeness and innovativeness

This research project define a new class of rings which is a genenalization of Cohen- Macaulay local ring of dimension 1 via the rank of Sally module (a localized module at special prime ideal of Rees ring). They are called 2- Almost Gorenstein ring (2-AGL for short). We obtained some new results on the structure of 2-AGL. Some interesting examples of 2-ALG rings which are numerical semigroups rings with respect to numerical semigroup are explored. We also used the unique maximal, a special prime ideal of base ring to study the structure of 2-AGL through the structure of algebra  m:m.         

4. Research results

• Firstly, we give some characterizations so that a Cohen-Macaulay local ring $R$ of dimension 1 is a 2-AGL ring via its canonical ideal I, fractional ideal K=I/a and the ring S=R[K]. We also give the necessary and sufficient conditions for 2-AGL property is preserved through flat base change, idealization as well satisfied for a numerical semigoup rings.
• Secondly, this research characterize the structure of algebra $\m:\m$ when the base ring is 2-AGL.
• Thirdly, We give some conditions for a graph G  so that the unique homogeneous maximal ideal belongs to the set of associated primes of a power of edge ideal of G.

5. Products

5.1. Scientific products

- Publish 01 SCI paper:

1. Tran Do Minh Chau, Shiro Goto, Shinya Kumashiro, Naoyuki Matsuoka (2019), "Sally modules of canonical ideals in dimension one and 2-AGL rings",  Journal of Algebra, {\bf 521}, pp. 299-330

- Publish 01 paper in Vietnam:

1. Nguyen Thi Dung, Nguyen Thi Thanh Tam, Hoang Le Truong, Hoang Ngoc Yen (2019), "Critical Paired Dominating Sets and Irreducible Decompositions of Powers of Edge Ideals",  Acta Mathematica Vietnamica, 44, pp. 587-601

5.2. Training products

- 04 scientific research students:

1. Hoang Thi Hai (2016), Some properties of integral extensions and integral closures, Thai Nguyen University of Education - TNU.
2. Nguyen Thi Huyen Thuong, Le Dieu Anh (2016), Some properties of monomial ideals, Thai Nguyen University of Education - TNU.
3. Ha Minh Hoa, Le Thu Trang (2017), On Artinian local cohomology modules, Thai Nguyen University of Education - TNU.
4. Lai Thi Hao (2017), Some properties and classification of numerical semigroups, Thai Nguyen University of Education - TNU.

5. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of reserach results

• Scientific articles are research articles of the topic published in domestic and foreign magazines.
• Scientific articles are disseminated to readers through traditional libraries and electronic libraries. These articles are the basis for further research for mathematicians studying Algebra and Number Theory.
• The results of the thesis are also reference materials for students, graduate students, lecturers, fellows and mathematicians who study Algebra and Number Theory.