TRANG THÔNG TIN VỀ LUẬN ÁN CỦA NCS. PHAN THỊ VÂN HUYỀN
Tên đề tài luận án: “Một số phương pháp lặp giải bài toán nghiệm chung tách cho lớp phương trình toán tử đơn điệu với đa tập đầu ra”.
Ngành đào tạo: Toán ứng dụng.
Mã số: 9 46 01 12
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trương Minh Tuyên
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.
NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN
Trong luận án này, chúng tôi đạt được một số kết quả mới như sau:
- Đề xuất và nghiên cứu bài toán nghiệm chung tách của lớp phương trình toán tử đơn điệu với đa tập đầu ra trong không gian Hilbert (viết tắt là SCSP-MOE). Đây là một mô hình bài toán mới có tính tổng quát, bao hàm và mở rộng của lớp bài toán chấp nhận tách.
- Đề xuất hai phương pháp lặp mới dựa trên phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bao gồm phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện để giải bài toán (SCSP-MOE), đồng thời khảo sát tính ổn định của hai phương pháp này khi dữ liệu đầu vào bị nhiễu.
- Đề xuất bốn thuật toán lặp mới dựa trên phương pháp điểm gần kề quán tính để xấp xỉ nghiệm cho bài toán (SCSP-MOE). Bao gồm: một thuật toán hội tụ yếu và ba thuật toán hội tụ mạnh. Thuật toán hội tụ mạnh đầu tiên đạt được bằng cách kết hợp thuật toán hội tụ yếu với phương pháp xấp xỉ mềm. Hai thuật toán hội tụ mạnh tiếp theo là hai thuật toán chiếu xoay vòng, được xây dựng bằng cách kết hợp phương pháp điểm gần kề với đa thành phần quán tính và kỹ thuật chiếu lai ghép hoặc chiếu thu hẹp.
- Áp dụng các thuật toán đề xuất giải một số bài toán liên quan như bài toán điểm bất động chung tách với đa tập đầu ra, bài toán chấp nhận tách với đa tập đầu ra, bài toán không điểm chung tách với đa tập đầu ra, bài toán điểm cực tiểu chung tách với đa tập đầu ra và bài toán khôi phục tín tín hiệu. Thực hiện các tính toán số minh họa trong các không gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều.
CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU
Bài toán nghiệm chung tách của lớp phương trình toán tử đơn điệu với đa tập đầu ra (SCSP-MOE) là một mô hình tổng quát của lớp bài toán chấp nhận tách, có ý nghĩa quan trọng cả về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng. Lớp bài toán này có tiềm năng ứng dụng trong việc giải một số bài toán thực tiễn như tối ưu hóa, liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ, giúp tối ưu hóa phương pháp điều trị, tái tạo và khôi phục ảnh, xử lý tín hiệu, giải quyết các bài toán cân bằng trong kinh tế và lý thuyết trò chơi cũng như các bài toán cân bằng trong khoa học và kỹ thuật và một số ứng dụng khác.
Việc nghiên cứu và xây dựng các phương pháp giải cho lớp bài toán này góp phần làm phong phú thêm lý thuyết về các phương pháp lặp trong không gian Hilbert, đặc biệt đối với các bài toán có nhiều ràng buộc nằm ở những không gian khác nhau. Các thuật toán được đề xuất cho phép thiết lập các kết quả về tính hội tụ của dãy lặp sinh ra, qua đó cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc áp dụng các phương pháp này trong việc giải các mô hình toán học liên quan.
Luận án mở ra những hướng nghiên cứu tiếp theo liên quan đến việc phát triển các phương pháp lặp mạnh hơn, nhanh hơn và có khả năng mở rộng cho các mô hình bài toán tổng quát hơn và phức tạp hơn.
|
|
INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION
Research title: SOME ITERATIVE METHODS FOR SOLVING THE SPLIT COMMON SOLUTION PROBLEM FOR MONOTONE OPERATOR EQUATIONS WITH MULTIPLE OUTPUT SETS.
Major: Applied Mathematics
Code: 9 46 01 12
Academic Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Truong Minh Tuyen
Training institution: Thai Nguyen University of Sciences - Thai Nguyen University
THE NEW SCIENTIFIC FINDINGS
In this dissertation, several new results are obtained.
First, we introduce and study the split common solution problem for monotone operator equations with multiple output sets in Hilbert spaces, abbreviated as (SCSP-MOE). This problem constitutes a new and more general model that extends the split feasibility problems.
Based on the Tikhonov regularization technique, two iterative methods are proposed for solving the problem (SCSP-MOE), including an implicit method and an explicit method. The stability of these methods is also investigated in the presence of perturbations in the input data.
Furthermore, four new iterative algorithms based on the inertial proximal point method are developed to approximate solutions of (SCSP-MOE), including one weakly convergent algorithm and three strongly convergent algorithms. The first strongly convergent algorithm is obtained by combining the weakly convergent algorithm with the viscosity approximation method, whereas the remaining two are cyclic projection algorithms constructed using multi-step inertial terms together with the hybrid projection and shrinking projection techniques.
Finally, the proposed algorithms are applied to several related problems, including the split common fixed point problem with multiple output sets, the split feasibility problem with multiple output sets, the split common null point problem with multiple output sets, the split common minimization problem with multiple output sets, and the signal recovery problem. Numerical experiments in both finite-dimensional and infinite-dimensional spaces illustrate the effectiveness of the proposed methods.
APPLICATIONS, PRACTICAL APPLICABILITY AND OPEN SCIENTIFIC PROBLEMS
The split common solution problem for monotone operator equations with multiple output sets (SCSP-MOE) provides a general framework that extends the classical split feasibility problem. This class of problems has the potential to be applied to a variety of real-world problems, such as optimization, intensity-modulated radiation therapy and treatment planning, image reconstruction and restoration, signal processing, equilibrium problems in economics and game theory, equilibrium problems arising in science and engineering, and other related applications.
The development of solution methods for this class of problems contributes to the advancement of iterative methods in Hilbert spaces, particularly for problems involving multiple constraints in the image space. The algorithms proposed in this dissertation establish convergence results for the sequences generated by the iterative schemes, providing a theoretical basis for their application to related mathematical models.
These results also suggest several directions for further research, including the design of more efficient iterative methods and their extension to more general and complex problem settings.
Nguồn: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
