THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thông tin chung

Tên đề tài: Một số bất biến của môđun liên kết với hệ tham số hầu p-chuẩn tắc

Mã số: B2021-TNA-03

Chủ nhiệm đề tài: TS. Phạm Hồng Nam

     Email: namph@tnus.edu.vn

     Điện thoại: 0987594717

Cơ quan chủ trì: Đại học Thái Nguyên

Thời gian thực hiện: 2021-2022

2. Mục tiêu

- Ứng dụng được các kết quả về hệ tham số hầu p-chuẩn tắc để đưa ra chặn trên cho các hệ số Hilbert;

- Đưa ra được chặn tốt cho chỉ số khả quy đối với một số lớp iđêan đặc biệt;

- Mô tả được cấu trúc của iđêan định nghĩa trong vành nửa nhóm affine có chiều nhúng tùy ý.

3. Tính mới và tính sáng tạo

Các kết quả nghiên cứu của đề tài là những kết quả mới về các bài toán quan trọng trong Đại số giao hoán, được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín. Điều này đảm bảo tính mới và tính sáng tạo của đề tài.

4. Kết quả nghiên cứu

• Xây dựng các hệ tham số là hầu p-chuẩn tắc của vành iđêan hóa. Hệ quả là vành có một hệ tham số hầu p-chuẩn tắc khi và chỉ khi một trong những iđêan hóa của nó cũng có một hệ tham số hầu p-chuẩn tắc, khi và chỉ khi tất cả các iđêan hóa của nó với mọi môđun hữu hạn sinh đều có một hệ tham số hầu p-chuẩn tắc.
• Đối với môđun không trộn lẫn, chúng tôi xây dựng các đại số Rees Cohen-Macaulay cho iđêan hóa và các môđun Rees Cohen-Macaulay cho môđun. Hơn nữa, chúng tôi tìm thấy một mối quan hệ chặt chẽ giữa các Macaulayfication của vành và iđêan hóa trong một số trường hợp cụ thể.
• Đưa ra công thức tính cho hệ số Hilbert đối với các iđêan tham số hầu p-chuẩn tắc thông qua số bội của các môđun con thương.
• Chỉ ra hàm độ dài bão hòa là một đa đa thức trong các trường hợp I là iđêan chính hoặc sinh bởi một phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc. Hơn nữa, đưa công thức tính hệ số của đa thức tương ứng trong trường hợp iđêan chính hoặc iđêan sinh bởi một phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc có dạng đặc biệt.
• Đưa ra mối quan hệ giữa chỉ số khả quy của iđêan hóa với chỉ số khả quy của vành và môđun đối với một số lớp iđêan tham số. Từ đó đưa ra chặn đều cho các chỉ số khả quy của iđêan hóa đối với một số lớp iđêan tham số.

5. Sản phẩm

5.1. Sản phẩm khoa học

1. T. Cuong, P.H. Nam, and L.T. Nhan, “On almost p-standard system of parameters of idealization and applications” (Về hệ tham số hầu p-chuẩn tắc của iđêan hóa và ứng dụng), J. Pure and Applied Algebra, (2023), Accepted, 19 pages, (ISI uy tín/Q1).
2. H. Nam, “On the uniform bound of reducibility index of parameter ideals of idealizations” (Chặn đều của chỉ số khả quy của iđêan tham số của iđêan hóa), J. Algebra and Its Applications, (2022), 23 pages, https://doi.org/10.1142/S0219498823501839, (SCIE/Q2).
3. H. Nam, “On the local cohomology of powers of ideals in idealizations” (Về đối đồng điều địa phương của lũy thừa iđêan trong iđêan hóa), Periodica Mathematica Hungarica, (2023), 16 pages, link.springer.com/article/10.1007/s10998-023-00526-5, (SCIE/Q2).
4. H. Nam, “Upper bound for the first Euler-Poincar\'e characteristics of Koszul complexes relative to parameter ideals” (Chặn trên cho đặc trưng Euler-Poincar\'e của phức Koszul đối với iđêan tham số), TNU Journal of Science and Technology, 227 (02), (2022), 135-142.
5. H. Nam, “Hilbert coefficients of approximately Cohen-Macaulay module with respect to almost p-standard system of parameters” (Hệ số Hilbert của môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ đối với hệ tham số hầu p-chuẩn tắc), TNU Journal of Science and Technology, 228 (S1), (2023), 108-114.

5.2. Sản phẩm đào tạo

- Hướng dẫn 04 luận văn cao học:

1. Nguyễn Đình Dũng (2022), Về nghiệm của các phương trình Diophantine p^x+(p+A)^y=z^2 khi p là số nguyên tố và A=5, 8, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
2. Bùi Trung Kiên (2022), Về nghiệm của các phương trình Diophantine p^x+(p+A)^y=z^2 khi p là số nguyên tố và A=4, 6, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
3. Chu Sỹ Nhất (2022), Về nghiệm của các phương trình Diophantine p^x+(p+1)^y+(p+2)^z=M^A khi p là số nguyên tố, A=2, 3 và 1\leq x,y,z\leq 2, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
4. Đinh Đình Phong An (2022), Về nghiệm của các phương trình Diophantine p^x+(p+3)^y=z^2 khi p=3,5,7, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

- Hỗ trợ 01 NCS thực hiện đúng tiến độ:

Họ và tên học viên: Đỗ Văn Kiên

Tên đề tài luận án: Về cấu trúc của vành nửa nhóm số định nghĩa bởi iđêan định thức, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học-ĐH Thái Nguyên.

6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại

• Về khoa học: Công bố được một số kết quả mới, có ý nghĩa khoa học trên các tạp chí quốc tế có uy tín ISI (thuộc chủ đề nghiên cứu của đề tài).
• Về giáo dục và đào tạo: Hướng dẫn luận văn thạc sĩ, hướng dẫn luận án tiến sĩ của một thành viên đề tài, phục vụ hiệu quả cho công tác giảng dạy sau đại học các chuyên ngành về Đại số và Lý thuyết số tại trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên.
• Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu các thành viên trong nhóm thực hiện đề tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu.

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

 1. General Information

Project title: Some invariants of modules associated with almost p-standard systems of parameters

Code number: B2021-TNA-03

Coordinator: Dr. Pham Hong Nam

Email: namph@tnus.edu.vn

Phone: 0987594717

Implementing institution: Thai Nguyen University

Duration: From 1/2021 to 12/2022

2. Objectives

- Applying the results of the almost p-standard system of parameters to give the upper bound for Hilbert coefficients;

- Given a good bound for the reducibility index for some special ideals;

- Describe the structure of a definition ideal in an affine half-group ring with an arbitrary embedding dimension.

3. Novelty and creativity

    The results of the study are published in qualified international scientific journals.

4. Research results

• Constructing the almost p-standard system of parameters of the idealization. Consequently, a ring has an almost p-standard system of parameters if and only if one of its idealizations also has an almost p-standard system of parameters, if and only if all its idealizations have an almost p-standard system of parameters for all finitely generated modules;
• Given an unmixed module, we build Cohen-Macaulay Rees algebras for the idealization and Cohen-Macaulay Rees modules for the module. Furthermore, we find a tight relation between Macaulayfications of the basic ring and the idealization in several particular cases;
• Give the formula for the Hilbert coefficient with respect to almost p-standard systems of parameters through multiples of the subquotient modules;
• Show that the saturation function is a polynomial in the cases where I is the principal ideal or generated by an almost p-standard system of parameters. Furthermore, give the formula for the coefficient of the corresponding polynomial in the case of the principal ideal or the ideal generated by a part of the certain almost p-standard system of parameters;
• Given the relationship between the reducibility index of the idealization and the reducibility index of the ring and the module for some parameter ideals. From this result, given a uniform bound for the reducibility index of the idealization for certain parameter ideals.

5. Products

5.1. Scientific publications

1. T. Cuong, P.H. Nam, and L.T. Nhan, “On almost p-standard system of parameters of idealization and applications”, J. Pure and Applied Algebra, (2023), Accepted, 19 pages, (ISI uy tín/Q1).
2. H. Nam, “On the uniform bound of reducibility index of parameter ideals of idealizations”, J. Algebra and Its Applications, (2022), 23 pages, https://doi.org/10.1142/S0219498823501839, (SCIE/Q2).
3. H. Nam, “On the local cohomology of powers of ideals in idealizations”, Periodica Mathematica Hungarica, (2023), 16 pages, https:/10.1007/s10998-023-00526-5, (SCIE/Q2).
4. H. Nam, “Upper bound for the first Euler-Poincar\'e characteristics of Koszul complexes relative to parameter ideals”, TNU Journal of Science and Technology, 227 (02), (2022), 135-142.
5. H. Nam, “Hilbert coefficients of approximately Cohen-Macaulay module with respect to almost p-standard system of parameters”, TNU Journal of Science and Technology, 228 (S1), (2023), 108-114.

5.2. Training results

Supervised 04 master of thesis

1. Nguyen Dinh Dung (2022), On the solutions of Diophantine equations p^x+(p+A)^y=z^2 when p is prime and A=5, 8, Thai Nguyen University of Sciences.
2. Bui Trung Kien (2022), On the solutions of Diophantine equations p^x+(p+A)^y=z^2 when p is prime and A=4, 6, Thai Nguyen University of Sciences.
3. Chu Sy Nhat (2022), On the solutions of Diophantine equations p^x+(p+1)^y+(p+2)^z=M^A when $p$ is prime, A=2, 3 and 1\leq x,y,x\leq 2, Thai Nguyen University of Sciences.
4. Dinh Dinh Phong An (2022), On the solutions of Diophantine equations p^x+(p+3)^y=z^2 when p=3,5,7, Thai Nguyen University of Sciences.

Support 01 Ph.D. student to follow the schedule

Student's name: Do Van Kien

Project title: On the structure of the semigroup ring defined by the determinant ideal

6. Applications and effectiveness

• On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project).
• On educational aspect: Instructing 04 master theses, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences.
• Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening the cooperation in scientific research with domestic and international research institutions.